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C4 |
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巧用函数证明不等式
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2008-05-27 10:45:21
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李剑
不等式是等式的发展和延伸，在高考与各级各类数学竞赛中，不等式的证明问题一直是热门话题。对于一些代数(或自然数)不等式，人们习惯运用基本不等式和不等式的基本性质进行证明，但有时技巧性很强，增加了问题解决的难度，如果能借助函数这个工具，将不等式的证明转化为求函数的最值、值域、单调性和奇偶性，那么不等式的证明将变得简单明了。本文尝试把握不等式与函数的密切联系，结合问题的结构特征，构造出相应函数，用函数的性质、思想和方法来解决有关不等式的证明问题。
一、构造一次函数，利用一次函数的性质寻找证明思路。
例1：设a，b，c为绝对值小于1的实数，求证：ab+bc+ca+1＞0
证明：构造函数f(a)=(b+c)a+(bc+1)，(—a—＜1)(1)、若b+c=0，则由—bc—＜1知f(a)＞0(2)、若b+c≠0，则f(a)为单调函数，f(a)的值在f(1)与f(-1)之间，但
f(1)=(1+b)(1+c)＞0①f(-1)=(1-b)(1-c)＞0②故f(a)＞0即ab+bc+ca+1＞0评注：用函数观点处理本例，把3个字母的不等式，转化为两个字母的不等式①②来确定，使问题的解决得到了简化。(利用一次函数的保号性)
二、构造二次函数，利用二次函数的判别式证明不等式。
例2：已知琢+β+酌=仔，求证X2+Y2+z2叟2xycos琢+2yzcosβ+2zxcos酌证明:构造函数：f(x)=X2-2(ycos琢+zcos酌)x+(y2+z2-2yz鄄cosβ)
其判别式△=4(ycosa+zcos酌)2-4(y2+z2-2yzcosβ)
=4[y2(cos2琢-1)+2yz(cosβ+cos琢cosβ)+z2(cos2y-1)]
=-4(y2sin2琢-2yzsin琢in酌+z2sin2酌)=-4(ysin琢-zsin酌)燮0
因为二次函数开口向上，且△叟0即f(x)叟0恒成立所以原不等式成立。三、构造高次(或超越)函数，运用导数工具，利用函数的单调性、最值、有界性证明不等式(一)、利用函数的单调性值证明不等式
例3：证明对于任意n∈N葚，(1+1n)n＜3恒成立
证明：设f(x)=3x-x-1，x∈[0，1]，则f(x)=3xln3-1，又x∈[0，1]，因此3xln3-1≥30ln3-1＞0所以有函数f(x)在区间x∈[0，1]是增函数，从而f(x)≥f(0)，∴当且仅当x=0时等号成立.
令x=1n，n∈N葚，则有3
1n
＞1n+1圯(1+
1n)n＜3对于任意的自然数n∈N葚恒成立。
评注：本题构造函数是解题的关键。“构造”是一种重要而灵活的思维方式，解题时要弄清条件与结论的本质特征，又一个明确的方向，以便重新进行逻辑组合。
(二)、利用函数的最大(小)值证明不等式例4：已知x∈[-1，1]，n∈N葚求证：(1+x)n+(1-x)n≤2n证明：设函数f(x)=(1+x)n+(1-x)n，则有f＇(x)=n(1+x)n-1-n(1-x)n-1.
令f＇(x)=0圯x-0易知当x∈［-1，0］时，f'(x)＜0，当x∈(0,1)时，f'(x)＞0从而在x=0时f(x)取得最小值2，在x=±1时f(x)取得最大值为2n
故有对于x∈(-1，1)，以及任意的自然数n，原不等式恒成立。
(三)利用函数的有界性证明不等式。
例5：证明对于任意n∈N葚，(1+1n)n＜(1+1n+1)n+1
证明：要证n∈N葚，(1+1n)n＜(1+1n+1)n+1成立，
只需证明nln(1+1n)＜(n+1)ln(1+1n+1)成立。
构造函数f(x)=xln(1+1x)，n∈[1,+∞)
只需证明该函数在区间[1，+∞)内为单调递增函数，即
f''(x)=ln(1=1x)+x·-1x2
1+1x=ln(1+1x)-11+x＞0
在区间[1，+∞)内恒成立，由于
f″(x)=-1x2
1+1x+
1(x+1)2=-1x(x+1)+1(x+1)2=-1x(x+1)2＜0
所以函数f'(x)单调递减，且在区间[1，+∞)内
f'(x)=ln2-12=ln12姨＞0，
并且x→+∞时，f'(x)→0,所以f'(x)＞0，在区间[1，+∞)内恒成立。
所以原不等式得证评注：本题巧妙地运用了函数的单调性、有界性、极限的性质，其思路与方法值得回味和借鉴。
四、构造奇(偶)函数，利用函数的奇偶性证明不等式。
例6:求证：x1-2x＜x2(x≠0).证明：设f(x)=x2-x1-2x=x(2x+1)2(2x-1)
因f(-x)=-x(2-x+1)2(2-x-1)=x(2x+1)2(2x-1)=f(x)∴f(x)是偶函数，x∈(0，+∞)圯2x＞1圯f(x)=f(x)＝x(2x+1)2(2x-1)
＞0x∈(-∞，0)圯-x＞0圯f(-x)=f(x)＞0∴x∈(-∞，0)∪(0,+∞)时，恒有f(x)＞0
即x1-2x＜x2(x≠0).
评注：函数的奇偶性是函数在其定义域上的性质，由于奇(偶)函数的对称性，所以将其某一区间的特性，推出其对称区间的特性，这为证明不等式提供了条件与可能。
五、由不等式结构特征构造相应函数，将不等式证明简化为函数的性质。
例7：对-1＜a＜b＜1，求证：a1+a2＜b1+b2证明：令a=tan藁，b=tanβ，-仔4＜a＜β＜仔4则
a1+a2=
sin2琢2，b1+b2=
sin2β2.Oy=sin2x,x∈(-仔4，仔4)是增函数
即sin2a琢＜sin2β故原不等式成立评注：本例由不等式两端的统一结构特征，联想到三角变换中的万能公式：
sin2琢=2tan琢1+tan2琢不等式的证明化归为正弦函
数的单调性问题，思维独特，构思巧妙，使不等式的证明得到简化。
综述：从以上各例可以看出，适当运用构造函数的方法证明不等式，既可化难为易，提高解题能力，又可加深对不等式与相关函数的联系的理解，培养函数思想、化归思想、建模思想，综合提高学生灵活运用数学知识的能力。
(清远市田家炳实验中学教师)
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